Здесь приведены компилятивные общие сведения о различных классах проекций, применяемых для создания карт(в основном в СССР). В связи с распространенностью проекции Гаусса-Крюгера и простой видоизмененной поликонической проекции, в которых создаются топографические карты, сведения о каждой из них даны отдельно.

По характеру искажений конические проекции могут быть разнообразны, т.е. в классификационном ряду они могут занимать любое место. Однако наибольшее распространение получили равноугольные и равнопромежуточные проекции.

Образование конических проекций для наглядности можно представить как проектирование земной поверхности на боковую поверхность конуса, определенным образом ориентированного относительно земного шара (элипсоида). В прямых конических проекциях оси земного шара и конуса совпадают. При этом конус берется или касательный, или секущий. После проектирования боковая поверхность конуса разрезается по одной из образующих и развертывается в плоскость. При проектировании по методу линейной перспективы получаются перспективные конические проекции, обладающие только промежуточными свойствами по характеру искажений. В отличие от перспективных цилиндрических и перспективных азимутальных эти проекции признания не получили.

Другой метод образования конических проекций - аналитический. В основу его кладутся уравнения проекций, вытекающие из их определения и формул общей теории искажений. В конических проекциях имеются две постоянные проекции "alfa" и "С". Постоянная "alfa" равняется синусу широты стандартной параллели или, что то же самое, синусу угла при вершине конуса. Для проекций с двумя стандартными параллелями формула alfa=sin fi0 остается верна только для равноугольных

проекций, причем в этом случае fi0 - широта параллели с наименьшим масштабом.

Из формулы следует, что постоянная "alfa" может быть только меньше единицы 0<alfa<1. Если же аlfa=1, то коническая проекция превратится и азимутальную. Если аlfa=0, то образующие конуса будут параллельны его оси и коническая проекция превратится в цилиндрическую.

Вторая постоянная "С" в равноугольной и промежуточной проекции имеет определенный геометрический смысл - это радиус экватора и проекции.

В зависимости от размеров изображаемой территории и конических проекциях принимаются одна или две параллели, вдоль которых сохраняются длины без искажений. Одна параллель принимается при небольшом протяжении по широте;

две параллели - при большом протяжении, в целях уменьшения уклонений масштабов от единицы. В литературе их называют стандартными, а также касательной или секущими параллелями. Коническая проекция данной группы вполне определяется, если заданы постоянные проекции или "любые величины, взаимно однозначно с ними связанные". Это могут быть широты стандартных или крайних параллелей. В последнем случае, например, может быть дополнено условие, чтобы масштабы на крайних параллелях и на параллели с наименьшим масштабом были равны но абсолютной величине. Может быть поставлено, например, требование, чтобы среднее квадратичное искажение длин было наименьшим или было наименьшим крайне искажение углов. Наиболее просто постоянные проекции вычисляются по заданным значениям широт стандартных параллелей fi1 и fi2 . Выбирать их следует в соответствии с конфигурацией изображаемой области.

В прямых азимутальных проекциях параллели изображаются концентрическими окружностями, меридианы - пучком прямых, исходящих из центра. Углы между меридианами проекции равны соответствующим разностям долгот. Промежутки между параллелями определяются принятым характером изображения (равноугольным и др..) или способом проектирования точек земной

поверхности на картинную плоскость. Нормальная сетка азимутальных проекций ортогональна. Их можно рассматривать как частный случай конических, в которых аlfa=1.

Азимутальные проекции применяются как прямые, так косые и поперечные, что определяется широтой центральной точки проекции, выбор которой зависит от расположения территории. Меридианы и параллели в косых и поперечных проекциях изображаются кривыми линиями, за исключением среднего меридиана, на котором находится центральная точка проекции. В поперечных проекциях прямой изображается также экватор: он является второй осью симметрии.

Вид меридианов и параллелей в прямых азимутальных проекциях в случае косых и поперечных проекций имеют альмукантараты (соответствуют параллелям) и вертикалы (соответствуют меридианам).

По характеру искажений азимутальные проекции подразделяются на равноугольные, равновеликие и с промежуточными свойствами. В проекции масштаб длин может сохранятся в точке или вдоль одной из параллелей (вдоль альмукантарата). В первом случае предполагается касательная картинная плоскость, во втором - секущая. В прямых проекциях формулы даются для поверхности эллипсоида или шара (в зависимости от масштаба карт), в косых и поперечных - только для поверхности шара.

В прямых цилиндрических проекциях параллели и меридианы изображаются двумя семействами параллельных прямых линии, перпендикулярных друг к другу. Промежутки между параллелями пропорциональны разностям долгот, промежутки между меридианами определяются принятым характером изображения (равноугольным или др.) или способом проектирования точек земной поверхности на боковую поверхность цилиндра. Из определения проекций следует, что их сетка меридианов и параллелей ортогональна. Цилиндрические проекции можно рассматривать как частный случай конических при аlfa=0 (вершина конуса в бесконечности).

Цилиндрические проекции применяются как прямые, так и косые и поперечные в зависимости от расположения изображаемой области. В косых и поперечных проекциях меридианы и параллели изображаются различными кривыми, но средний меридиан проекции, на котором располагается полюс косой системы, всегда прямой. В поперечных проекциях, кроме того, прямой линией изображается экватор. Описанный выше вид сетки прямых проекций для случая косых и поперечных соответствует альмукантаратам и вертикалам.

Но характеру искажений рассматриваемые цилиндрические проекции располагаются в ряду от равноугольных до равновеликих. Образование цилиндрических проекций можно представить по разному. Наглядным представляется проектирование земной поверхности на боковую поверхность цилиндра, которая затем развертывается на плоскости. Цилиндр может быть касательным к земному шару или секущим его. В первом случае длины сохраняются по экватору, во втором - по двум стандартным параллелям, симметричным относительно экватора.

Проектирование может выполнятся различными способами.

Наиболее распространенным является аналитический, основывающийся на закономерностях, получаемых из заданного характера изображения. Уравнения проекции могут быть получены и из предписанных значений искажений на нескольких параллелях, а также по методу линейной перспективы.

Искажения в прямых цилиндрических проекциях зависят только от широты, поэтому изоколы представляют собой параллельные прямые, совпадающие с параллелями. В цилиндрических проекциях имеется одна постоянная с, определяющая промежутки между меридианами. Таким образом, геометрический смысл постоянной "с" - это радиус параллели, сохраняющей длины, т.е. стандартной параллели. Ординаты и масштабы длин по параллелям зависят лишь от выбранной широты и, следовательно, одинаковы для всех прямых цилиндрических проекций, независимо от выбранного вида функции x=f(fi prim). Масштаб длин по параллелям имеет минимальное значение на экваторе, равен единицы на стандартных параллелях и затем, возрастая с увеличением широты, достигает бесконечно большой величины на полюсе.

Если изображаемая область имеет небольшое протяжение по широте и располагается примерно симметрично относительно экватора, целесообразно брать проекцию, сохраняющую длины на экваторе, т.е. такую, чтобы масштаб па экваторе равнялся единице.

Широты стандартных параллелей при одинаковой значимости северной и южной частей изображаемой области могут находится под условием, чтобы масштабы на крайних параллелях, расположенных симметрично относительно экватора, были равны между собой и были бы на столько больше единицы, на сколько меньше единицы масштаб на экваторе (секущий цилиндр). Прямые цилиндрические проекции с двумя стандартными параллелями (секущий цилиндр) могут применяться и тогда, когда изображаемая область находится по одну сторону от экватора. Широта стандартной параллели может выбираться примерно посередине изображаемой территории.

Если изображаемая область располагается но одну сторону от экватора, то при определении широты стандартной параллели может быть поставлено условие, чтобы масштаб па одной параллели был на столько больше единицы, на сколько меньше единицы масштаб на другой крайней параллели (секущий цилиндр).

Цилиндрические проекции могут находить самое разнообразное применение:

от карт мелких масштабов до крупных, от общегеографических до специальных. Приведем некоторые возможные случаи применения цилиндрических проекций. Так, проекция Меркатора, как было указано, широко применяется в навигации благодаря свойству локсодромичности (локсодромия - линия равных азимутов -изображается в виде прямой линии) и удобству учета искажений длин, так как m=n. Используется она как для карт отдельных водных бассейнов, так и для изображения мирового океана.

По закономерностям в распределении искажений цилиндрические проекции более всего подходят для изображения сравнительно узкой полосы, так как изоколы изображаются прямыми параллельными линиями, которые могут быть ориентированы так, чтобы располагались но линии наибольшего протяжения изображаемой области. Эта полоса должна быть расположена симметрично относительно экватора - географического или условного, так как искажения изменяются медленно лишь около экватора. Аэронавигационные маршрутные полетные карты чаще всего составляются в косых и поперечных цилиндрических равноугольных проекциях (на шаре).

В прямых псевдоцилипдрических проекциях параллели изображаются в виде прямых параллельных линий, меридианы - в виде кривых (дуг, синусоид, гипербол, парабол, эллипсов и т.д.) и, в частности, прямых. Промежутки между параллелями определяются принятым законом изображения земной поверхности па плоскости. Промежутки между меридианами в равновеликих проекциях пропорциональны разностям долгот, в других проекциях они могут убывать или, значительно реже, возрастать от среднего меридиана к востоку и западу. Полюс изображается точкой или полярной линией, длина которой устанавливается или получается из задания. Следовательно, сетка меридианов и параллелей не ортогональна, поэтому псевдоцилипдрические проекции не могут быть равноугольными. Если же цилиндрические проекции рассматривать как частный случай псевдоцилиндрических проекций, когда меридианы изображаются прямыми параллельными линиями, ортогональными к параллелям, то в этом предельном случае можно считать цилиндрическую равноугольную проекцию Меркатора равноугольной псевдоцилиндрнчсской проекцией. Вследствие неортогоналыюсти сетки экстремальные масштабы не совпадают с направлением меридианов и параллелей, за исключением среднего меридиана и экватора. Псевдоцилиндрические проекции в основном применяются для изображения всей земной поверхности или значительных ее частей в мелких масштабах. Поэтому земная поверхность принимается за поверхность шара с радиусом R. Эти проекции имеют две оси симметрии - экватор и средний меридиан нормальной сетки. Косые и поперечные псевдоцилиндрические проекции используются крайне редко. Поликонические проекции

Параллели прямых поликонических проекций изображаются дугами эксцентрических окружностей, центры которых находятся на среднем прямолинейном - меридиане или его продолжении. Остальные меридианы изображаются кривыми, симметричными относительно среднего меридиана. Для более узкой группы поликонических проекций, которую иногда называют "собственно поликоническими" проекциями, принимаются дополнительные условия. Поэтому собственно поликонические проекции являются частным случаем. Другим частным случаем поликонических проекций являются круговые проекции - с меридианами в виде дуг эксцентрических окружностей - которые будут рассмотрены ниже. Для каждого конкретного задания выбирают ту или иную зависимость полярных координат от широты до долготы. К поликопическим проекциям в широком понимании относятся, например, проекция Таича и проекции Гинзбурга. Первая определялась аналитически, вторые получены численными методами. Сетка поликонической проекции графически может быть построена следующим образом. На оси абсцисс, совпадающей со средним прямолинейным меридианом, от экватора откладывают величины q; полученные отметки Cl, C2, СЗ,... являются центрами окружностей, изображающих параллели. Из этих центров соответствующими радиусами PI, P2, РЗ...проводят параллели. Для проведения меридианов от центра каждой параллели откладывают углы и делают отметки а1, а2, а3..., b1, b2, b3..., с1, с2, c3... на соответствующих параллелях. Затем соединяют плавной кривой отметки, относящиеся к одному меридиану, затем к другому и т.д.

В 1928 г. на III геодезическом совещании для всех геодезических и топографических работ в СССР была принята проекция Гаусса-Крюгера на эллипсоиде Бесселя. В этой проекции начали создавать топографические карты масштабов крупнее 1:500 000, а с 1939 г. проекция Гаусса-Крюгера стала применяться и для карты масштаба 1:500 000. В апреле 1946 г. постановлением правительства были утверждены размеры референц эллипсоида Красовского и новые исходные даты, характеризующие систему координат 1942 г. Проекция Гаусса-Крюгера не является строго равноугольной, так как при ее получении использовано разложение в такой ряд, для которого выполняется только одно из условий Коши-Римана. Если в уравнение проекции ввести еще один дополнительный член ряда, то начинает выполняться второе условие, а первое, которое сохранялось ранее, не выполняется. Проекция при сохранении в ее формулах достаточного количества (7-8) членов является практически равноугольной, поэтому можно считать, что и ней соблюдается и условие ортогональности сетки, и условие равенства масштабов.

На протяжении многовековой истории развития картографии способы построения сеток ранее известных проекций совершенствовались или изменялись;

неоднократно сами проекции предлагались как бы заново. Это породило двойственность в наименованиях ряда проекций по именам их авторов. В нескольких случаях проекция названа не по имени изобретателя , a лица, которое содействовало ее практическому применению. Наконец, в отдельных случаях одна и та же проекция называется по разному в нашей литературе и некоторых зарубежных источниках. Необходимые пояснения даны ниже.

1. Коническая равновеликая проекция шара с двумя стандартными параллелями предложена Г. Альберсом 1805 г. Однако общая теория равновеликих конических проекций разработана Л. Эйлером еще в 1777 г. и опубликована в 1778 г.

2. Псевдоконическая равновеликая проекция Р. Бонна разработана им в 1752 г., а К. Вопелем - почти на два столетия раньше. Сходная псевдоконическая проекция с небольшими искажениями площадей, в которой меридианы круговые, разработана еще К. Птолемеем. Карты мира М. Вальдзеемюллера (1507) и П. Апиана (1520) имеют составную сетку: две ее части - северная и южная -построены в упомянутой проекции Птолемея. 3. Равноугольную проекцию эллипсоида, предложенную К. Гауссом, часто называют поперечной цилиндрической на том основании, что если положить экцентриситет е=0, то проекция превратится в поперечную равноугольную цилиндрическую Меркатора. Гаусс разработал свою проекцию в начале 19 в. Л. Крюгер развил теорию этой проекции в 1912 г. он же содействовал изданию трудов Гаусса, поэтому проекцию называют двойным именем: Гаусса-Крюгера. Такое же значение этот масштаб имеет и в "Универсальной поперечной меркаторской проекции" (UTM). В зарубежных источниках наименование "поперечная мсркаторская проекция" применяют но отношениям к трем близким, но не вполне одинаковым проекциям:

а) поперечной цилиндрической равноугольной проекции шара (Ламберта-Гаусса);

б) проекции Гаусса-Крюгера - равноугольной проекции эллипсоида, в котором на осевом меридиане масштаб равен единице, а также к проекции Гаусса-Боага или UTM;

в) двойной равноугольной проекции, для получения которой сначала эллипсоид равноугольно изображается на шаре, а затем вычисляется поперечная цилиндрическая равноугольная проекция этого шара.

4. Квадратную или иначе "простую" цилиндрическую проекцию иногда называют по имени Генриха-Мореплавателя, применившего ее в 1438 г. Однако эта проекция была известна еще Эратосфену в 3 в. до н.э.

5. Вариант прямой конической равнопромежуточной проекции с двумя стандартными параллелями, примененный на картах атласа И. К. Кириллова (1734) и Атласа Российского (1745), известен под названием проекции И. Делиля. Сходную по виду сетки и по величинам искажений так называемую "упрощенную коническую" проекцию Меркатор применил еще в 1554 г. для карты Европы.